¿Cambiar o no cambiar?

El problema de Monty Hall es un problema de probabilidad basado en un juego de un concurso televisivo estadounidense llamado Let's Make a Deal (Hagamos un Trato). Su nombre se debe a Monty Hall, quien fue el presentador del concurso en aquel entonces.

En el juego hay dos personajes: el concursante y el presentador. El concursante debe elegir entre tres puertas cerradas; detrás de una de ellas hay un coche y tras las otras dos hay cabras, y el presentador conoce en qué puerta está cada uno de los objetos. 

La mecánica del juego es la siguiente: el concursante elige una puerta al azar, pero antes de destaparla, el presentador abre una de las otras dos puertas restantes revelando una cabra, quedando así dos puertas cerradas, una con el coche y otra con la segunda cabra. 

Nota: la mecánica nunca cambia, lo que significa que siempre se va a revelar una cabra independientemente de cuál haya sido la elección del concursante.

Luego el presentador le pregunta al concursante si desea cambiar su elección inicial por la otra puerta que quedó cerrada, o si desea mantenerla. Sabiendo que lo que el concursante desea ganar es el carro, ¿debería cambiarla para aumentar las probabilidades de obtenerlo, o eso resulta irrelevante? 

Después de más de 40 años la respuesta sigue generando controversia. La primera impresión es que como al final quedan dos puertas, una con el premio (carro) y otra sin él (cabra), entonces hay 50% de probabilidad de ganar sea cual sea la elección. Pero en realidad es mejor cambiar porque al principio era más probable haber escogido una cabra, por lo que es más probable que el presentador haya dejado el carro en la otra puerta. No significa que dé una garantía de ganar, porque inicialmente pudo haberse escogido la puerta del carro, pero ello es más difícil que ocurra.

Resulta más claro verlo con un mayor número de puertas, por ejemplo 100. Imaginemos que todas tuviesen cabras menos solamente una que tuviese un carro; el concursante escoge una, pero antes de revelar su contenido el presentador revela otras 98, cada una de ellas con una cabra. Allí sería mucho más factible ganar cambiando, por lo improbable que resultaría haber acertado al principio. 

Digamos que la correcta en un caso particular es la puerta 35. 

1) Si se elige la puerta 1, el presentador dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
2) Si se elige la puerta 2, el presentador dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
3) Si se elige la puerta 3, el presentador dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
.
.
.
99) Si se elige la puerta 99, el presentador dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
100) Si se elige la puerta 100, el presentador dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.

La única forma de que se pierda cambiando es que el concursante haya escogido la puerta 35 desde el inicio, lo cual tiene probabilidad 1/100.

Bien, hay algunas personas que lo habrán entendido de inmediato, pero por experiencia previa sé que no será el caso de gran parte de los lectores, y por eso me voy a extender en este blog. También puede resultar útil para tener más puntos de vista y lograr un mejor entendimiento.

Creo que los principales puntos que tienden a confundir son cuatro:

1) Ignorar el hecho de que el presentador siempre revela la cabra a propósito

El presentador nunca va a abrir la puerta que el concursante escogió, ni tampoco va a abrir la puerta del carro si es que ésta se encuentra entre las otras dos. Siempre él va a abrir una puerta que tenga una cabra porque las reglas del juego lo fuerzan a hacer eso, y él lo puede hacer gracias a que su condición de presentador le permite conocer el contenido de cada una de ellas.

La probabilidad de haber acertado al principio es de 1/3, porque había un carro y dos cabras. Independientemente de que la puerta escogida haya tenido o no el carro, siempre iba a haber al menos una cabra disponible entre las otras dos, por lo que luego el hecho de mostrarla no dice nada acerca del contenido de la puerta inicial; es redundante. Es como si en lugar de abrirla simplemente alguien dijera: "en alguna de las otras puertas hay una cabra", lo cual no sería informativo acerca de la puerta inicial, ya que en cualquier caso sería posible decirlo. Pero sí aporta otro tipo de información: está diciendo en cuál de las otras dos puertas está dicha cabra sobrante, por lo que si en las otras dos puertas había una cabra y un carro, entonces revelando la cabra ya se sabe que en la otra debe estar el carro. Claro que también podía pasar que ambas puertas restantes tuvieran cabras, lo cual se da cuando la del concursante es la del carro, pero eso sólo ocurre en un caso de tres, mientras que lo otro ocurre en dos casos de tres.

Veamos un diagrama de árbol sobre todos los eventos que pueden ocurrir:

La estrategia de cambiar resulta en ganar dos de tres veces; la otra sólo lo consigue una de tres.

En otras palabras, si se eligió al principio una puerta incorrecta, se gana cambiando, y si al principio se eligió la puerta correcta, se pierde cambiando. Como es más probable haber fallado, es mejor cambiar.

No ocurre lo mismo en un juego similar en donde el presentador revela una puerta al azar y ésta resulta tener una cabra, es decir, la reveló por casualidad, no la forzó. Allí las probabilidades sí son 50% para cada puerta. La diferencia en este juego es que existe la posibilidad de que el carro sea revelado, y al no resultar serlo, eso incrementa la probabilidad de que esté en la puerta seleccionada. Como revelar la cabra no es algo que siempre va a ocurrir, nos restringimos a un subconjunto en el que las proporciones son de 1/2. No hay razón para pensar que la puerta del concursante o la que dejó cerrada el presentador tiene más probabilidades que la otra, porque ambas fueron seleccionadas aleatoriamente. Por el contrario, en el juego de Monty Hall no nos restringimos a un subconjunto, porque la cabra es buscada a propósito, y siempre iba a haber al menos una cabra disponible para mostrar.

A veces se piensa que como siempre una cabra va a ser revelada, es lo mismo empezar con sólo las dos puertas finales, lo cual es un error, y para ilustrarlo, volvamos a incrementar el número a 100 y cambiemos los premios por pelotas. Supongamos que tenemos una caja de 100 pelotas, de las cuales 99 son blancas y 1 es negra, que es la que se quiere elegir. El concursante agarra una sin verla, y la mantiene tapada en su mano. Luego el presentador remueve a conciencia 98 pelotas blancas de la caja, quedando así dos pelotas: una en la mano del concursante y otra en la caja. Además, siempre una será negra y la otra será blanca. Se le da al concursante la opción de decidirse por la que ya tiene en la mano, o cambiarla por la que quedó en la caja.

Es cierto que en este punto hay dos pelotas por elegir, pero lo importante es que una está en la mano y la otra está en la caja. La que está en la mano sólo puede ser la negra si el concursante la acertó cuando todavía había 100 pelotas, lo cual es muy difícil. Es más factible que todavía esté en la caja. Esto no es lo mismo que empezar el juego con dos pelotas en la caja y tener que seleccionar una. Allí ambas son indistinguibles, mientras que en el otro caso, cuál está en cada posición depende de la selección inicial.

El poder distinguir entre la pelota en la mano y la de la caja es lo mismo que distinguir entre la puerta seleccionada y la otra restante.

2) Creer que no importa si el presentador está forzado o no ni la probabilidad de la primera elección, sino que lo importante es que al final quedan dos puertas, una con el carro y una con una cabra, ergo las probabilidades son de 50%

Nótese que el hecho de que haya una cabra y un carro no significa que sus distribuciones sobre las dos puertas sean equiprobables, es decir, no implica que sea igual de factible que la original tenga el carro y la otra la cabra, a que la original tenga la cabra y la otra el carro.

El hecho de que las probabilidades no se distribuyan equitativamente sobre cada una de las opciones no debería sorprender, ya que en la vida cotidiana estamos acostumbrados a ello. Por ejemplo, en un partido de fútbol de una liga no es igual de probable que el equipo que está ubicado en el tope de la tabla gane o pierda contra el que está en la mitad, ni tampoco es lo mismo contra el que está en el fondo.

Lo que tal vez confunde es que cuando se introducen problemas matemáticos de probabilidad, suele ser con ejemplos en donde cada uno de los posibles resultados es equiprobable, y entonces se crea la idea errónea de que las probabilidades siempre se calculan simplemente dividiendo el número uno entre el número de cosas que pueden suceder. Por ejemplo, al lanzar un dado, hay seis posibles números, por lo que la probabilidad de que salga uno en específico es 1/6, pero lo que se tiende a olvidar es que esa probabilidad es correcta sólo si se trata de un dado balanceado. Si no, si alguna cara tuviera más peso que las otras, ella tendría mayor probabilidad a pesar de que seguirían siendo seis resultados posibles. También se olvida que en el caso de una moneda, en realidad no hay sólo dos posibles resultados sino tres; el tercero es que la moneda caiga parada. Lo que sucede es que ese resultado es tan improbable que resulta adecuado asignarle el valor cero y distribuir la probabilidad sobre los otros dos, y como ellos sí son equiprobables, cada uno tendrá 1/2.

Supongamos que después de una primera ronda de Monty Hall, las puertas que quedaron cerradas fueron la 1 y la 2. Aquí se podría decir que las posibilidades son sólo dos, y que por tanto hay 50% de probabilidad para cada una:

Posibilidad     Puerta1   Puerta2

    primera          carro        cabra
   segunda         cabra        carro

Esto estaría bien si el juego empezara nada más con estas dos puertas, pero en Monty Hall debemos considerar también cuál puerta fue seleccionada al principio. No es lo mismo la probabilidad de que la puerta 1 tenga el carro dado que el concursante había elegido la puerta 1, que la probabilidad de que la puerta 1 tenga el carro dado que el concursante había elegido la 2. Si el premio está en la puerta 1 y el concursante eligió la 1, el presentador bien pudo haber abierto la 2 o la 3, por lo que tener la 3 abierta cubre la mitad de este caso. Si el premio está en la puerta 1 pero el concursante eligió la 2, el presentador estuvo obligado a abrir la 3, por lo que tener abierta la 3 cubre este caso por completo.

De aquí puede surgir una duda interesante: ¿Cuáles serían las probabilidades si quien fuera a elegir en la segunda ronda fuera otra persona que no hubiese sido testigo de la primera elección? Dejaré la explicación para más adelante.

Otro ejemplo para ilustrar el problema de Monty Hall es un juego en donde hay tres mesas, cada una con dos cartas boca abajo, como se ve en la imagen a continuación:

Una regla del juego es que en dos de las mesas la carta de la izquierda es de pinta roja y la de la derecha de pinta negra, y en la tercera mesa es justo lo contrario, pero el concursante no sabe cuál mesa es cuál. Una posible configuración es la siguiente:

El concursante gana cuando obtiene una carta de pinta roja. Para ello, debe escoger primero entre las tres mesas, y luego decidir sobre las dos cartas que están en ella. Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad de ganar si apuesta por la carta de la izquierda, y cuál si apuesta por la de la derecha? Como había dos mesas con pinta roja a la izquierda, la probabilidad de acertar si elige la de la izquierda es de 2/3, y si elige la de la derecha es de 1/3. Como se ve, la probabilidad de que un color se encuentre a la derecha o a la izquierda viene dada por la configuración inicial de las mesas y no por el hecho de que hay dos cartas en cada una de ellas.

Por si esto no ha convencido, vamos a empezar el juego sin que existan las cartas de la derecha.

Una vez que se escoge la mesa, ¿cuál es la probabilidad de que la carta sea de pinta roja? Es de 2/3, porque hay dos cartas rojas y una negra en las mesas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta no sea de pinta roja? Es el complemento, 1/3. Ahora supongamos que antes de abrir la carta se coloca a su derecha una carta del color opuesto: si era roja, la de la derecha será negra y viceversa. En este caso, ¿cuál es la probabilidad de acertar la roja si se sigue apostando por la de la izquierda? Nótese que ahora hay una carta roja y una negra, pero la probabilidad de que la original sea roja sigue siendo 2/3, porque añadir la otra carta a su lado no afectó su contenido. Caso distinto es si se decidiera hacer una selección aleatoria entre las dos cartas, o si éstas fueran barajadas; ahí la probabilidad de acertar la roja sí sería de 1/2, pero porque de antemano no se sabría cuál de las dos cartas se iría a escoger.

En el problema de Monty Hall, la primera elección con las tres puertas equivale a elegir la mesa en este otro juego, porque se está decidiendo la naturaleza de las dos puertas que quedarán para la segunda. Son tres posibles bloques de dos puertas que pueden quedar; en dos de los bloques, la puerta original tiene una cabra y la otra el carro; en un solo bloque, la puerta original tiene el carro y la otra una cabra.

Ahora quiero recordar que la probabilidad de un evento es la proporción promedio de veces que ocurre dicho evento, y esa proporción puede visualizarse repitiendo el experimento muchas veces debido a la ley de los grandes números. Por ejemplo, que cada resultado al lanzar una moneda tenga probabilidad 1/2 significa que si se lanzara 100 veces, un número alrededor de 50 saldría cara, y un número alrededor de 50 saldría cruz. Puede haber rachas de resultados repetidos, pero la proporción final sólo puede variar mucho cuando hay pocos intentos. Por ejemplo, no esperamos ver 1 cara y 99 cruces en 100 lanzamientos, aunque sí sería más factible que en 5 intentos tuviéramos sólo 1 cara y 4 cruces. Entonces, si se hiciera una lista de intentos en el problema de Monty Hall, la tendencia promedio sería la siguiente:

Puerta del           Puerta del
concursante        presentador

   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
 CARRO                  cabra
   cabra                  CARRO
 CARRO                  cabra
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
 CARRO                  cabra

Reitero que esta lista es un ejemplo para mostrar la tendencia, es decir, la proporción general; no significa que en nueve intentos los resultados siempre tengan que ser así. Se ve que el carro aparece 1/3 de las veces en la puerta del concursante, porque al principio había probabilidad 1/3 de acertarlo. Pero como tiende a aparecer más veces en la puerta del presentador (la otra que dejó cerrada), es más conveniente pensar que está allí. Esta tabla también ayuda a visualizar el hecho de que el número de puertas no tiene nada que ver con lo probable de que un resultado aparezca en una o en otra. La probabilidad del contenido que pueden tener las puertas está definida por las columnas, no por las filas. Si se quiere saber qué tan probable es que la puerta tenga el carro o una cabra, debe visualizarse la tabla de manera vertical, no horizontal.

Las probabilidades de ganar manteniendo la elección inicial son las mismas que si nunca se abriera la otra puerta y nunca se diera la oportunidad de cambiar. No existe ningún caso en que abrir esa otra puerta haga ganar a un concursante que mantuvo su elección, y que no hubiese ganado si no se hubiese abierto.

Si en lugar de tres puertas al principio fueran diez, la tendencia promedio sería la siguiente:

Puerta del           Puerta del
concursante        presentador

   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
   cabra                  CARRO
 CARRO                  cabra
   cabra                  CARRO

Mientras más puertas haya, menos frecuentemente aparecerá el carro en la puerta del concursante.

Ahora sí, respondiendo a la pregunta anterior, una persona que no hubiese sido testigo de la primera elección tendría 50% de probabilidades de acertar, pero eso se debe a que no podría distinguir entre las dos puertas, por lo que sería igual de probable que eligiera la que para el otro concursante era la original, como que eligiera la otra que dejó cerrada el presentador. Si esa persona repitiera el juego muchas veces, aproximadamente la mitad habría elegido una, y aproximadamente la mitad la otra. Por el contrario, el concursante que sí sabe maximizaría sus aciertos decidiendo siempre cambiar en todos los intentos.

Sólo por si acaso (espero no enredar más), aclaro que la probabilidad una vez escogida una de las dos puertas específicas es igual para ambos concursantes (el ignorante y el otro). Una vez escogida la misma, los dos están en el caso en que tienen mayor o menor probabilidad, sólo que uno de ellos no lo sabe. Eso de que uno sepa que tiene más o menos probabilidades y el otro no, tampoco debe parecer nada raro, porque una vez escogida la puerta y antes de abrirla, el concursante todavía piensa en sus probabilidades, pero desde el punto de vista del presentador ya se sabe si acertó o perdió (probabilidad 100% o 0%). Lo que diferencia a ambos concursantes es el momento cuando tienen que elegir, no cuando ya han elegido. Uno de los dos puede darse el lujo de forzar su elección a la que tiene mayor probabilidad, mientras que el otro no, porque para él ambas son iguales.

Si se hiciera una lista de numerosos intentos del concursante ignorante, también habría ganado 2/3 de las veces que eligió la puerta que para el otro representaba cambiar, pero como solamente elige esa puerta 1/2 de las veces, ese 2/3 representa en realidad 2/3 * 1/2 = 2/6 del total. De igual manera, habría ganado 1/3 de las veces que eligió la puerta que fue escogida inicialmente por el primer participante, pero como elige esa puerta 1/2 de las veces, ese 1/3 representa 1/3 * 1/2 = 1/6 del total. Veamos esto en una tabla.


             PuertaDeCambiar    PuertaDeNoCambiar            Total
Gana                 2/6                           1/6                        3/6 = 1/2
Pierde               1/6                           2/6                        3/6 = 1/2


Gana 1/2 de las veces, lo cual es el resultado esperado.

3) Creer que en realidad no hay tres posibles casos o bloques, sino cuatro. En dos de ellos la puerta original resulta ganadora, por lo que la probabilidad es de 50% 

A más de uno le podrá parecer que en lugar de tres casos, como las tres mesas, en verdad deberían ser cuatro, porque hay cuatro combinaciones para las dos puertas que quedan en la segunda ronda. Dos de ellas se deben a que una vez escogido el carro, el presentador podría revelar la cabra 1 o la cabra 2. Las posibilidades serían las siguientes:

1) Se elige la puerta de la cabra 1. El presentador revela la cabra 2 ----> Se gana cambiando.

2) Se elige la puerta de la cabra 2. El presentador revela la cabra 1 ----> Se gana cambiando.

3) Se elige la puerta del carro. El presentador revela la cabra 1 ----------> Se pierde cambiando.

4) Se elige la puerta del carro. El presentador revela la cabra 2 ----------> Se pierde cambiando.

Con esto se concluye erróneamente que las probabilidades de ganar o perder cambiando son de 1/2. 

El error se debe a que la probabilidad de que el concursante haya elegido la puerta del carro es de 1/3, y eso no deja de ser verdad por lo que pueda ocurrir después. Como el presentador sólo tiene la posibilidad de escoger entre la cabra 1 o la 2 cuando el concursante ha elegido la puerta del carro, esos dos casos (el 3 y el 4) deben caer dentro de ese 1/3. Así, cada uno de ellos tiene 1/3 * 1/2 = 1/6 de probabilidad.

Los casos 3) y 4) no se pueden contar junto con el 1) y el 2), porque no son igualmente probables. De lo contrario, se le asigna dos casos a haber elegido la puerta del carro y sólo uno para cada cabra específica, y es falso que al principio fuera el doble de probable elegir el carro que, digamos, la cabra 1, por ejemplo.

Otro ejemplo para ilustrar el error de contar casos que no son igualmente probables es suponer el mismo juego de Monty Hall con las tres puertas, pero con sólo una elección, es decir, no se da la oportunidad de cambiar. Antes de revelar el contenido de la puerta elegida, el presentador cuenta un chiste. Si el concursante había elegido la puerta del carro, el presentador puede contar cualquiera de los 100 chistes que tiene en una lista, pero si había elegido una puerta con una cabra, sólo puede contar el chiste número 1 de la lista. El problema es que el concursante no sabe cuál chiste es cuál, así que no sabe si el presentador tuvo la oportunidad de elegir, o si se vio forzado.

Si nos ponemos a contar casos tomando en cuenta los chistes, y considerándolos todos como equiprobables, tendremos 100 casos en los que la puerta del concursante es la del carro, y un solo caso para cada puerta con cabra. Esto nos llevaría a la conclusión de que es muy probable ganar, y más lo sería si se incrementara la cantidad de chistes, lo cual es completamente absurdo.

4) Pensar que esto es válido sólo si repite el juego varias veces, pero que en uno solo las probabilidades son de 50%

Hay algunas personas que están de acuerdo con que la fracción promedio en que se ganaría si se repitiera el experimento muchas veces es mayor cambiando que manteniendo la elección original, pero piensan que en un solo juego la probabilidad es de 1/2 para cada estrategia. También esto es falso, porque las probabilidades no varían con el número de intentos. Repetir el experimento muchas veces es lo que nos permite visualizar la tendencia con menos temor a errores por rachas atípicas, pero eso no significa que la diferencia de probabilidad no existiera desde el principio.

Ya dijimos que las veces en que se gana no cambiando son las mismas que si nunca se abriera la otra puerta y nunca se diera la oportunidad de cambiar. Así que, quienes piensen que en un solo intento las probabilidades son de 50%, también deben pensar que lo son cuando el juego es de una sola elección que no se puede cambiar, y esto no es cierto porque había tres posibles objetos que se podían elegir, cada uno de ellos con igual probabilidad: carro, cabra1 y cabra2.

Obviamente en un solo juego se podría perder cambiando; ya se ha dicho que esa estrategia no da una garantía de ganar. Mayores probabilidades no implican certeza; certeza es solamente cuando las probabilidades son de 100% = 1, pero lo que sí dicen es cuál evento es más factible que el otro. El 1/3 que le falta a 2/3 para ser 1 indica que hay probabilidad 1/3 de perder con ese método.

Para verlo matemáticamente, digamos que X es una variable aleatoria que toma el valor 1 cuando se acierta el carro cambiando, y 0 cuando se falla cambiando. Ahora sea Y la variable aleatoria cuyo valor es la suma de n varias variables aleatorias del tipo X, es decir:

Y = X1 + X2 + ... + Xn

Dicho de otra manera, si se tomara una muestra de n juegos de Monty Hall, X1 contaría 1 si en el primer juego se ganara cambiando, y contaría 0 si perdiera de esa forma; X2 haría lo mismo pero con el segundo juego, etc. Así, la Y contaría la cantidad de veces que se habría ganado cambiando después de los n intentos. Para quienes sepan de probabilidad, es fácil identificar a X como una variable bernoulli y a Y como una variable binomial. Ahora bien, es claro que el valor de Y no siempre tiene que ser el mismo, pero nos interesa saber cuál es el estimado (su promedio). Es bien sabido que el valor promedio o esperanza de la variable binomial Y, denotado como E(Y), es igual a np, donde p es la probabilidad de la variable X, es decir, que p es la probabilidad de ganar en un juego particular.

Notar que el valor np dice la cantidad de veces esperada que se gana, no la fracción que representa con respecto al total. Si queremos conocer dicha fracción, simplemente dividimos entre el total n y nos queda (np)/n = p, es decir, la fracción promedio de veces que se gana después de varios intentos es igual a la probabilidad de ganar en cada intento. Q.E.D.

Y por si vuelve a confundir, con fracción promedio no me refiero al promedio de una muestra en particular, sino al promedio de las fracciones de varias muestras. Sería el promedio de los promedios. Algunas muestras mostrarán una fracción mayor a la real, otras una fracción menor, pero si se tomara una cantidad suficiente de muestras, las fracciones mayores se compensarían con las menores, y el promedio de ellas sería parecido a la fracción real, que es la probabilidad. Y como también mencioné antes, si una muestra única tiene numerosos elementos, de la ley de los grandes números se deriva que la fracción del evento en ella será muy similar a la probabilidad real de ese evento.

Para ilustrar: en el caso de lanzar una moneda 100 veces, la n es igual a 100 y la p es igual a 1/2. El valor promedio de veces que se debería ver cara es n*p = 100*(1/2) = 50, y si queremos saber qué fracción representa eso respecto al total, dividimos 50/100 = 1/2.

Un ejemplo Monty Hall: digamos que la cantidad de intentos es 15, así que el valor esperado de veces que se ganaría cambiando es:

n*p = 15*(2/3) = 10

Un caso posible es:

1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 + 0 + 1 = 10

Insisto en que no estoy diciendo que siempre tendría que ser 10, pero sí que tendería a ser un valor cercano, y que en promedio sería 10.

Como hay más unos que ceros, en un solo intento es más probable que salga un uno a que salga un cero, en particular en el primero. Si no, si en el primer intento de Monty Hall las probabilidades fueran de 50%, eso querría decir que en el primer término sería igual de probable tener un 1 o un 0, y eso a su vez significaría que esos 1's que son mayoría tenderían a aglomerarse en los intentos posteriores, y no hay razón para pensar eso. Si se listaran todas las permutaciones de los términos señalados arriba, se contarían más permutaciones en donde el término inicial es 1. En fin, si muchas personas realizaran el juego de Monty Hall una sola vez, alrededor de 2/3 de ellas ganarían cambiando.

_________________________________________________________________________________

Para finalizar, debo destacar que este problema ya ha sido comprobado con numerosas simulaciones; en Internet pueden encontrar muchas. Yo mismo he hecho un algoritmo que calcula la proporción con un millón de repeticiones, y los resultados siempre son aproximadamente 66.66% cambiando, y 33.33% no cambiando. Una muestra aleatoria de un millón ya es bastante grande en estadística. Haciendo pruebas con intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y p-valores, se comprueba que la garantía de que esa proporción sea la correcta es demasiado grande.

Por último, es posible que en el concurso real no fuera una regla que el presentador abriera siempre la puerta con la cabra. A veces él sólo daba la oportunidad de cambiar si el concursante había acertado el carro al principio, para hacer que fallara. De todos modos, lo que se suele conocer como "problema de Monty Hall" en el ámbito popular tiene las reglas aquí descritas, y si no coincide con lo que originalmente fue el concurso, no importa. El problema de Monty Hall es simplemente un rompecabezas matemático que sirve como curiosidad para darnos cuenta de cómo la intuición a veces nos puede llevar a resultados erróneos.